Series

Fourier + Fourier +........ + Fourier = ¿Series de Fourier?

¿Por qué nos interesa HOY desarrollar funciones en serie?
¿Por qué se estudian las series de Fourier?
¿Por qué desarrollamos en serie de fourier , funciones como x, ó funciones salto... cuyas expresiones sin desarrollar son fáciles de manejar?

¿Respuesta?

El flujo de los fenómenos naturales se nos presenta de modo fundamentalmente recurrente. El flujo de las cosas se puede racionalizar cuantitativamente mediante una función. El intento por entender cuantitativamente las recurrencias que pueda presentar esta función, se puede expresar mediante la descomposición de la función en una suma de funciones (movimientos simples) , lo que hace la estructura del movimiento completo diáfana y transparente desde el punto de vista matemático. Fourier extendió este proceso con audacia a cualquier función.

Además, los problemas de la cuerda vibrante (entendida como máquina que transforma funciones) se expresa analíticamente mediante ecuaciones diferenciales simples.

La influencia profunda del análisis armónico en el interior del cuerpo mismo de las matemáticas se explica por su carácter de banco de prueba de las nociones básicas y fundamentales del análisis matemático: derivada, integral, convergencia…

Extraído de "Impactos del Análisis Armónico" de Miguel de Guzman

El continuo

¿Todo conjunto perfecto y conexo... es continuo?

Un conjunto P se llama perfecto cuando es igual a su conjunto derivado.
T es un conjunto de puntos conexo si, para cualesquiera puntos t y t´en T, y para todo épsilon arbitrariamente pequeño, puede encontrarse un conjunto finito de puntos t1, t2, t3, ....tn en T, tales que las distancias tt1, t1t2, t2t3...tnt´ son todas ellas menores que épsilon.
Estas son , afirmaba Cantor, las condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales un conjunto de puntos podría ser considerado un continuo.

Invitación

Ejercicio...

1) Hacer un grafico aproximado de las siguientes funciones.
a) f(x) = el segundo número del desarrollo decimal de x
b) f(x) = el número de sietes del desarrollo decimal de x, si este es finito, y cero en caso contrario.
c) f(x) = el número de sietes del desarrollo decimal de x, si este es finito , y uno en caso contrario.
d) f(x) = el número obtenido sustituyendo todas las cifras del desarrollo decimal de x que vienen después del primer 7 ( si las hay) por cero.


¿Qué es lo primero que uno piensa cuando le dicen función?
¿Cómo hablar de continuidad o derivabilidad en funciones discretas o en funciones "descarademente" discontinuas?
¿Siempre son importantes los gráficos de una función?
¿Qué perdemos y que ganamos si las funciones no se pueden "graficar"?

y más...

2) Dar una función continua en solo un punto, y discontinua en todos los demás
3) ¿Existe alguna función que sea discontinua en todo punto, y que tenga solamente discontinuidades evitables?


Los ejercicios están propuestos por Spivak, M. en Calculus . Ed Reverté, México, 1998.

Enseñanza media

Una charla entre los señores Moc y Poc:

Moc: raíz de 2 es un número irracional
Poc: pero da 1,414213562

M: la calculadora te da una aproximación, raíz de 2 tiene infinitas cifras decimales
P:y, ¿cómo sabe que son infinitas? si son muchas no se si no acaban de golpe
M: está demostrado. Desde la época de los griegos se sabe
P: es como pi, que siempre puedo encontrar una cifra más
P: pero para pi usamos 3,14
M:Sí, en general usamos dos cifras decimales para hacer cuentas, pero sabemos que tiene infinitas
P: En la práctica, si es un número, sirve para hacer cuentas y entonces tengo que considerarlo con cierta cantidad de cifras decimales, o, ¿para que sirven los números?
M: pero tenemos que aceptar que lo que usamos cuando tomamos una cierta cantidad de cifras es un número racional, tan cercano como queramos , pero que raíz de 2 (o también pi) ,no es un número racional , sino que ese racional está tan cerca como queramos de él, pero que raíz de 2 no es 1,4142 ni pi es 3,14. Cuando se hacen cuentas no se obtiene un resultado exacto
P: pero si son distintos no es lo mismo
M: exactamente
P:Entonces, ¿por qué la calculadora me da asi? ¿está mal?
M:La calculadora te da una aproximación para que puedas hacer el cálculo. No puede darte todas las cifras decimales porque son infinitas.
P:Entonces está mal lo que da la calculadora, porque da el resultado al apretar el signo "=" . De todas maneras, la calculadora tendría que decir que no es igual, que no es el verdadero resultado.
P: Pero con infinitas cifras ¿Cómo se hacen cuentas?
M:Por eso la calculadora nos da las primeras cifras, pero tenemos que saber que son sólo algunas, que es sólo una aproximación. No podemos hacer cuentas con infinitas cifras decimales.
P:Entonces, ¿para que sirven los irracionales?

Extraído de "La comprensión y el significado de los números irracionales en el aula de matemática" Autor: Cecilia Crespo Crespo

Reflexión:
¿La enseñanza invita a pensar?
¿Nos complace o nos enoja que se pueda pensar?
Está demostrado, ¿es siempre una respuesta válida?
Sabemos nosotros con certeza ¿para que sirven los números?
¿que confianza les damos nosotros y nuestros alumnos a la técnología?
Con técnología ¿hay otra matemática?

No hay R sin Cantor !

¿Cuando se necesito formalizar, para que sirven los números?
¿ Por qué ?
¿Para que sirven?
¿Para que sirven los números irracionales?

Dedekind afirma: Lo que es demostrable, no debe aceptarse en ciencia sin demostración.

¿Todo es demostrable?
¿Qué es una demostración?
¿Qué entendemos nosotros, docentes, por demostración?
¿Qué entienden nuestros alumnos por demostración?

Auto - Referencial

Retrato de un retrato que se contiene a si mismo.
Galeria de Grabados M.C.Escher

Utilizar el razonamiento matemático para explorar el razonamiento matemático. El descubrimiento por K. G. de un bucle extraño en los sistemas matemáticos tiene su origen en intuiciones simples y antiguas. En su forma más desnuda y descarnada el descubrimiento de K, supone la traducción de una vieja paradoja filosófica a términos matemáticos. El único culpable de estas paradojas parece ser el fenómeno de autorreferencia.

Extraído de “ Gödel, Escher, Bach”. De Douglas Hofstadter

¿El eterno y grácil bucle, será verdaderamente, nuestro único problema?

Clases de Análisis I

¿Por qué las funciones elementales son justamente las llamadas "funciones elementales" y no otras?
¿Por qué, si no son generales las funciones de Análisis I, se estudian igual?
¿En que problemas dejan de funcionar las aplicaciones comunes de Análisis I ?
¿Necesitamos definiciones precisas de distancia? ¿Completitud? ¿Abierto? ¿Continuidad?
¿Por qué estás y no otras?
¿Por qué hacemos análisis en R?
¿La idea de continuidad y completitud es la misma idea de límite?
¿La idea de límite es una idea primaria en el análisis?
¿Qué definiciones previas o condiciones iniciales se necesitan para la definición usual de límite?
¿Qué definiciones previas o condiciones iniciales se necesitan para la definición usual de continuidad?
¿Por qué se necesita una definición más general de continuidad y en análisis real se define continuidad de otra manera?
¿Qué condiciones iniciales se necesita para poder aplicar la definición usual de derivabilidad?
¿Por qué es necesario probar derivabilidad por definición?
¿Por qué se enseña derivabilidad por definición?
¿Por qué las funciones derivadas no pueden tener discontinuidades evitables?
¿Por qué se enseña a graficar funciones?
¿Qué ideas subyacen a la posibilidad de construcción de gráficas?
¿Siempre se necesita de lo algebraico para validar lo gráfico?
¿Cuál es el poder de la visualización?