Invitación

Ejercicio...

1) Hacer un grafico aproximado de las siguientes funciones.
a) f(x) = el segundo número del desarrollo decimal de x
b) f(x) = el número de sietes del desarrollo decimal de x, si este es finito, y cero en caso contrario.
c) f(x) = el número de sietes del desarrollo decimal de x, si este es finito , y uno en caso contrario.
d) f(x) = el número obtenido sustituyendo todas las cifras del desarrollo decimal de x que vienen después del primer 7 ( si las hay) por cero.


¿Qué es lo primero que uno piensa cuando le dicen función?
¿Cómo hablar de continuidad o derivabilidad en funciones discretas o en funciones "descarademente" discontinuas?
¿Siempre son importantes los gráficos de una función?
¿Qué perdemos y que ganamos si las funciones no se pueden "graficar"?

y más...

2) Dar una función continua en solo un punto, y discontinua en todos los demás
3) ¿Existe alguna función que sea discontinua en todo punto, y que tenga solamente discontinuidades evitables?


Los ejercicios están propuestos por Spivak, M. en Calculus . Ed Reverté, México, 1998.

Enseñanza media

Una charla entre los señores Moc y Poc:

Moc: raíz de 2 es un número irracional
Poc: pero da 1,414213562

M: la calculadora te da una aproximación, raíz de 2 tiene infinitas cifras decimales
P:y, ¿cómo sabe que son infinitas? si son muchas no se si no acaban de golpe
M: está demostrado. Desde la época de los griegos se sabe
P: es como pi, que siempre puedo encontrar una cifra más
P: pero para pi usamos 3,14
M:Sí, en general usamos dos cifras decimales para hacer cuentas, pero sabemos que tiene infinitas
P: En la práctica, si es un número, sirve para hacer cuentas y entonces tengo que considerarlo con cierta cantidad de cifras decimales, o, ¿para que sirven los números?
M: pero tenemos que aceptar que lo que usamos cuando tomamos una cierta cantidad de cifras es un número racional, tan cercano como queramos , pero que raíz de 2 (o también pi) ,no es un número racional , sino que ese racional está tan cerca como queramos de él, pero que raíz de 2 no es 1,4142 ni pi es 3,14. Cuando se hacen cuentas no se obtiene un resultado exacto
P: pero si son distintos no es lo mismo
M: exactamente
P:Entonces, ¿por qué la calculadora me da asi? ¿está mal?
M:La calculadora te da una aproximación para que puedas hacer el cálculo. No puede darte todas las cifras decimales porque son infinitas.
P:Entonces está mal lo que da la calculadora, porque da el resultado al apretar el signo "=" . De todas maneras, la calculadora tendría que decir que no es igual, que no es el verdadero resultado.
P: Pero con infinitas cifras ¿Cómo se hacen cuentas?
M:Por eso la calculadora nos da las primeras cifras, pero tenemos que saber que son sólo algunas, que es sólo una aproximación. No podemos hacer cuentas con infinitas cifras decimales.
P:Entonces, ¿para que sirven los irracionales?

Extraído de "La comprensión y el significado de los números irracionales en el aula de matemática" Autor: Cecilia Crespo Crespo

Reflexión:
¿La enseñanza invita a pensar?
¿Nos complace o nos enoja que se pueda pensar?
Está demostrado, ¿es siempre una respuesta válida?
Sabemos nosotros con certeza ¿para que sirven los números?
¿que confianza les damos nosotros y nuestros alumnos a la técnología?
Con técnología ¿hay otra matemática?

No hay R sin Cantor !

¿Cuando se necesito formalizar, para que sirven los números?
¿ Por qué ?
¿Para que sirven?
¿Para que sirven los números irracionales?

Dedekind afirma: Lo que es demostrable, no debe aceptarse en ciencia sin demostración.

¿Todo es demostrable?
¿Qué es una demostración?
¿Qué entendemos nosotros, docentes, por demostración?
¿Qué entienden nuestros alumnos por demostración?

Auto - Referencial

Retrato de un retrato que se contiene a si mismo.
Galeria de Grabados M.C.Escher

Utilizar el razonamiento matemático para explorar el razonamiento matemático. El descubrimiento por K. G. de un bucle extraño en los sistemas matemáticos tiene su origen en intuiciones simples y antiguas. En su forma más desnuda y descarnada el descubrimiento de K, supone la traducción de una vieja paradoja filosófica a términos matemáticos. El único culpable de estas paradojas parece ser el fenómeno de autorreferencia.

Extraído de “ Gödel, Escher, Bach”. De Douglas Hofstadter

¿El eterno y grácil bucle, será verdaderamente, nuestro único problema?

Clases de Análisis I

¿Por qué las funciones elementales son justamente las llamadas "funciones elementales" y no otras?
¿Por qué, si no son generales las funciones de Análisis I, se estudian igual?
¿En que problemas dejan de funcionar las aplicaciones comunes de Análisis I ?
¿Necesitamos definiciones precisas de distancia? ¿Completitud? ¿Abierto? ¿Continuidad?
¿Por qué estás y no otras?
¿Por qué hacemos análisis en R?
¿La idea de continuidad y completitud es la misma idea de límite?
¿La idea de límite es una idea primaria en el análisis?
¿Qué definiciones previas o condiciones iniciales se necesitan para la definición usual de límite?
¿Qué definiciones previas o condiciones iniciales se necesitan para la definición usual de continuidad?
¿Por qué se necesita una definición más general de continuidad y en análisis real se define continuidad de otra manera?
¿Qué condiciones iniciales se necesita para poder aplicar la definición usual de derivabilidad?
¿Por qué es necesario probar derivabilidad por definición?
¿Por qué se enseña derivabilidad por definición?
¿Por qué las funciones derivadas no pueden tener discontinuidades evitables?
¿Por qué se enseña a graficar funciones?
¿Qué ideas subyacen a la posibilidad de construcción de gráficas?
¿Siempre se necesita de lo algebraico para validar lo gráfico?
¿Cuál es el poder de la visualización?

Ecuaciones

Como docentes nos encontramos frente al desafío intelectual de comprender y transmitir el sentido de una ecuación. “…Todos estos elementos complejos: problemas, objetos, propiedades, lenguaje simbólico, leyes de transformación de las escrituras, técnicas de resolución- producen un “entramado” que configura el trabajo algebraico …En respuesta a estas dificultades reiteradas, se suele proponer [...] una simplificación de los objetos y una algoritmización de las prácticas. Habría otra opción, apoyada en la intención de hacerse cargo de la complejidad: apuntar a la construcción de sentido como respuesta a las dificultades.”

En general se comienza a tratar el tema de ecuaciones a través de la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Esto implica una fuerte traba para concebir ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones, y provoca problemas en futuros aprendizajes.

La ecuación en la escuela media se impone desde lo simbólico. No es ésta una necesidad del alumno sino una imposición del docente. La ecuación no siempre surge como necesidad tampoco en la resolución de un problema concreto que no puede ser abordado con las herramientas conocidas por el alumno.

Los alumnos “aprenden” pero no siempre pueden darle sentido a lo aprendido: las transformaciones algebraicas se aprenden muchas veces como un conjunto de reglas válidas a aplicar, se trabaja con la técnica dejando de lado el sentido. Uno usa un instrumento y no otro cuando se siente cómodo con él, cuando no le tiene “miedo“ , cuando le es familiar, fácil de manejar y de interpretar.

El problema del sentido es todavía más amplio ya que aún aquellos estudiantes que logran manejar con éxito las técnicas algebraicas, a menudo fracasan en ver el álgebra como una herramienta para entender, expresar y comunicar las generalidades, para develar estructuras, para establecer conexiones y formular argumentos matemáticos.

En síntesis, es tan complejo el proceso de enseñanza-aprendizaje de las ecuaciones, como un aspecto de la formación algebraica, que son muchos más los interrogantes que surgen que las certezas:

• ¿Cuáles son las dificultades más frecuentes que se observan en los últimos años del nivel medio con respecto al uso de las ecuaciones como herramienta de resolución de problemas?
• ¿Cómo dotar de sentido los usos del álgebra desde lo cotidiano?
• ¿Cuándo convocar al símbolo en el proceso de resolver un problema y cuando abandonarlo?
• ¿Cómo abrazar viejos conocimientos y construir con ellos nuevos?
• ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplir los problemas para que las ecuaciones resulten un instrumento “necesario”?
• ¿Cuál es la mínima dificultad de un problema para que una nueva herramienta tenga sentido?
• ¿Puede un problema resolverse por distintos caminos o procedimientos?; un problema ¿admite dos respuestas distintas?; ¿la respuesta a un problema es una fórmula?
• ¿Cómo validar o descartar distintas soluciones?
• ¿La manipulación algebraica es un obstáculo o un puente para lograr el sentido?
• ¿El sentido del síbolo es esperable tanto de principiantes como de expertos?
  

Introducción del trabajo final de: Medología de la Investigación para la Licenciatura en la enseñanza de la Matemática.UTN
Bancala,L. Catalano, V. Colombini, N. Martucci, J.